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写作这篇文章的初衷是希望结合我自身的一手经验来谈一谈理工科背景学生在跨考经济学专业时如何用数学的眼光来学习经济学，仅代表个人观点，欢迎大家来讨论、批评和指正。接下来我们首先探讨一道去年西财考研经济学802中出现的一道真题：
已知：一个完全竞争市场中的生产厂商的短期成本函数为STC=Q^3-10*Q^2+100*Q+500，其中Q为产量。 问：（1）求出该厂商短期平均可变成本SAVC和短期平均固定成本SAFC； （2）但市场价格P=100时，求该厂商的产量； （3）求出该厂商的“停止营业点”； （4）求出该厂商在短期内的供给曲线。
说明：为突出本文所倡导的通过数学角度看待经济学问题，我们将仅解答最能突出此种角度特点的第（2）、（3）小问。
解答：（2）“完全竞争市场中的厂商”意味着对该厂商至少在微观经济学理论中存在两个约束。首先，厂商的行为应当符合“理性人假设”，即该厂商追求自身利润最大化；其次，厂商的经济行为对整个市场没有任何影响，即该厂商是市场价格的接受者。以上两个约束翻译成数学语言就是，1、边际成本MC=边际收益MR（利润函数的一元表达式取极值的一阶条件）；2、价格P=100（对分析该厂商的经济行为而言，市场价格是一个常数，或局外变量）。联立上述等式可得结果。 （3）当一个理性生产厂商决定停止生产，意味着此时选择继续生产和停止生产所造成的成本损失是相同的，而为了避免承担继续生产带来的隐性成本，厂商选择停业。从成本函数上来看，即此时的市场价格刚好能补偿短期平均可变成本SAVC，而损失全部的固定成本FC。又因为可变成本是由生产产生而与产量相关的成本，故当生产停止时可变成本为零。以数学语言表示为，1、P=SAVC；2、P=MR=MC。联立两个等式可得SAVC=MC，进一步可得结果。
解答完以上两个小问题之后，我假设大家至少有两个疑问： 1、为什么以上分析和解答中没有结合成本曲线的图像和微观经济学中关于生产者成本分析的一些阶段性结论（即需要大家背下来的经济学定律和结论）； 2、所谓的“数学的眼光”在分析与解答中具体扮演了什么角色。
在我们开始深入“数学的眼光”看待经济学问题之前，请允许我阐明我个人一直以来在学习知识上的理念：学习所能带给我们最重要也是最有价值的并不总是我们已经知晓的部分知识，而是生产这些知识背后的原理和组建知识体系所依赖的逻辑。
首先，我个人作为一个非典型的大学毕业生（本科教育背景比较非主流，可以理解为完全的自学），在决定考研之前没有任何经济学专业知识基础。此外，由于我个人极其有限的复习时间（由于种种个人原因，实际复习时间仅有9-12月，三个月左右）以及对于自己学习理念的执念，我注定只能选择一条非常规的复习道路。
在刚开始进行经济学学习时，我也“难以免俗”地尝试从阅读教材开始。然而，我毫无意外地在看了几天书之后就彻底懵逼了（前面看过的已经忘记，新看到的永远走不进我的内心）。但是，在经历前几年人生中的黑暗低谷之后，这些学习上的困难无法彻底动摇我的决心。决心可以帮助我们在精神上保持站立姿态，但要真正解决问题还是得靠适合的策略与行动。我自认为一直对数学学习有着极高的热情和一定的能力，因此我本能地想到采用自己最熟悉和擅长的方式来进入一个新的学科领域。有数学分析基础的同学应该了解，在数学学习中（不仅仅是应试，而是真正理解并运用数学），我们真正需要死记硬背的只有定义和公理（因为二者是不可被证明的，或者说是不证自明的，是数学逻辑大厦中的起点和基础），而在此基础上发展起来的定理和公式实际上无需刻意记忆（我个人考研数学的复习时间比经济学更加有限，因此不具备大量刷题的条件，大家在复习考研数学时也要时刻牢记刷题的意义仅仅在于熟练考试套路和应试技巧，这些是取得高分的必要不充分条件。
此外，无论刷题数量多寡，大家一定要至少做好两个工作，其一是数学错题本的建立和完善，具体我在文末给大家详细介绍；其二是在考前要做到一张纸、一支笔就能够从”数列极限的定义“一直推导完整个大纲所要求的微积分定义和定理）。说点题外话，中国学生数学考试的分数与数学能力不成比例，这一现象背后的原因与”驾照考试分数与驾驶能力不成比例“类似。驾校教练出于自身利益最大化考虑（即取得在尽可能少的教学时间内来降低教学成本和取得考试成绩收益）不会教给学员关于汽车基本机械原理、固定相对位置估测距离和方位的方法（因为此种训练相当耗时间），而是只会给学员机械性地讲解考场环境下需要死记硬背记住的几个”点位“。如此教学的结果就是，学员通过短期集中地、大量地死记硬背式的训练确实能够”适应“考场环境，并通过考试，但真正到了陌生环境中，驾驶技术也许就剩下了之前记下来的几个在特定条件下才成立的”点位“了。
上述分析是不是很像我们绝大多数人在高考之前和部分非数学专业的同学在大学期间学习数学的方法？本来，”掌握了“高等数学的大学生可以对高考数学进行”降维打击”，然而事实是，大家的数学能力在经历高考、考研这两个“极值点”后其他人生区间内均稳定地保持导函数为负的状态。系统学习过数学分析的同学应该知道，数学思维和能力的重要指标应该是数理逻辑能力而不是计算能力，计算能力强是数学能力强的既不充分也不必要条件（很多菜市场大妈的口算能力很强，但实际不具备数学思维，遑论数学能力）。在数学学习中，越是看上去“显然成立”的定理和命题越是难以被证明，也越是需要被证明。比如加法结合律在我们很多教材中被认为是和公理、定义一样“无需证明”、“显然成立”的，然而这一命题实际上需要由公理来证明（皮亚诺公理），类似的例子还有加法这一“运算法则”，其实它也不是一种定义，而是可以也必须由公理和定义来证明的命题。一般数学考试（数学竞赛除外）中取得高分的充分条件实际是一组条件束，即依据时间长短不同而组合比例不同的两个要素：其一是刷题，其二是分析能力训练。
数学专业的同学对于非算术结果性的证明题一定不陌生，数学分析课程的核心和主题就是通过大量的证明题（对特定命题的证明）和定理的推导证明来培养数学分析能力。具体来说，在时间充裕的情况下，可以”重“刷题，“轻”分析；而在时间有限的情况下（即来不及大量刷题），可以“轻”刷题，“重”分析。我个人的情况就是三个月时间中的极其有限的部分拿来做了一遍《李正元数学复习全书》和近10年真题（由于题量实在有限，我并没有建立错题本，我错题本的经验来自于备考高考），最终取得数学三125分的成绩（这一事实也验证了我之前关于“高分”的充分条件分析的正确性，假设高分的标准是135以上）。
最后这部分想再和大家明确一点的是，只有数学中的正确命题才能被称为“定理”，定理不依赖于实验，因为它是由公理和定义推导出来，其正确性也由二者提供。而自然科学中的结论只能被称为“定律”，因为它们是依赖于实验的，它们也是可以被新的实验所否定的（比如爱因斯坦相对论对于牛顿经典力学的否定，但此种否定是特定条件下的否定，是真理发展的阶段性形式的变化，在特定条件下，经典力学也可以否定相对论）。由于数学的此种特殊性，其新的理论发展对其他自然科学的发展具有”高阶“推动力，比如微积分的建立和最终完善为爱因斯坦相对论的创立奠定了基础（相对论的实验验证条件是直到其理论获得公认后的几十年才成熟的，即自然科学中极其罕见的“理论领先实践”现象）。但这也是一柄双刃剑，数学不依赖实验使得它可以帮助我们在自然科学中进行超前研究，但它潜在的逻辑基础和理论完备性上的瑕疵却也可能彻底误导自然科学研究的方向（这也是为什么微积分工具由牛顿、莱布尼茨建立后的两百年中没有什么自然科学家敢于使用它，而数学家们又在此期间耗尽心血去完善证明微积分的基础，此项工作最终由以勒贝格、魏尔斯特拉斯、黎曼等人完成）。此诚，“成也萧何，败也萧何”。
最后的最后，再和大家聊一下数学解题中常用的一个强大工具——反证法，大家有没有思考过反证法成立的数学依据？公布答案，原因留给大家思考，反证法基于这样一条公理，即一个语法正确且不包含自由变量的命题，非真即假。最后的最后的最后，大家思考过欧几里得几何公理中的平行公理吗？如果我们假设（因为公理的不可被证明特性，我们当然也可以假设已知公理不成立而给出”新“的公理而无需证明），”过直线外一点可以做不止一条直线与已知直线平行“，那整个几何理论体系（即欧氏几何）都将发生翻天覆地的变化（即非欧几何）。这一事实最初被包括大部分数学家在内的人认为是”谬论“，然而随着自然科学和工业技术的发展，20世纪中后期理论物理学的前沿研究证明了非欧几何的”实用价值“（虽然这有点像是说哲学有点”实用价值”一样功利而低俗）。这也提供了一种可能性，即地球外的文明可能是由基于与我们不同的公理体系发展出来的数学指导下的具体科学所创造的产物。对不起，有点儿偏题了……..
让我们回到开篇提到的经济学题目中：经济行为主体的理性人假设和市场的价格机制是两个最基本的用以将上述问题与“民间科学家撕逼问题”、经济学理论问题区别开来的假设前提，而这两个假设的逻辑相对位置又与数学中的相互独立（位置均等）自变量和函数映射关系有着神奇相似性（当然，如果你对现代经济学理论的创立和发展有所了解的话，也不会惊讶于这种相似性。考虑到大神凯恩斯首先是个应用数学领域的大师，之后才是”宏观经济学之父“）。
具体来说，第（2）小问实际上是一个一元函数（厂商利润关于产量的函数）在一个限制条件下（给定市场价格），确定极值的问题；第（3）小问中，我们首先可以仅通过字面意思来理解“停止营业点”（事实上，大部分并非冠以人名的经济学名词的字面意思就已经表明了其核心特点），即基于理性人假设，处于“停止营业点”的厂商选择停止营业是最符合其利润最大化目标的经济行为，尔后，我们考虑将该经济学问题翻译为数学语言，即一个一元函数可以根据是否与自变量相关（即是否是关于某个自变量的函数）来将其剥离为两个函数，之后再根据经济学描述所给出的限制条件来确定两个函数之间的数学关系（本题中是平均值与变化率相等）来进行求解。
题外话，我们这里分析的是经济学考研中所要求的初级宏微观经济学的数学角度观察，相应使用的数学工具主要是一元函数的微积分。请同学们思考一下，所谓中级、高级宏微观经济学的”升级“具体体现在哪些方面呢？不难猜到，中级、高级宏微观经济学所需要的数学工具会是多元函数的微积分以至于泛函分析方法（可以简单理解为自变量之间亦存在函数关系），那么翻译为经济学语言其实就是，一个经济变量与多个经济变量相关，且这些变量之间存在普遍联系，此外经济行为的决策过程不再是静态的（即初等数学），而是动态的（可以是同时变化，也可以是在时间序列上存在前后依赖）。数学的眼光不仅可以帮助我们看清眼前的事物，如果运用得当，甚至还可以帮助我们“预知”未来。
讲了这些经济学中的“微观”问题，我们接下来试图研究经济学的“宏观”结构，当然，借助数学的眼光。
对于大多数有经济学学习背景的同学，正确理解微观经济学和宏观经济学分别被别称为“价格理论”和“国民收入决定理论”的原因并不是一件难事。然而，要达成这一认识一般认为需要不仅是消耗一定时间的对整个微宏观经济学理论的学习，同时还需要一个足够聪明的脑子（开玩笑哈！！！）。确实，对于经济学零基础的跨考考生而言，我们很难在有限的时间内与这些“专业”的同学竞争。但是，如果想要追求”弯道超车“，那就必须摒弃传统的学习理念和方法，在我看来，那就是采取用数学的眼光看待经济学。 虽然并不是所有的现代科学都是发源于规范化研究的，但一旦一门科学进入了“现代科学”的范畴，这就意味着该门科学具备了一套可以完整包含并有机联系其全部内容的、规范化的、自洽的理论体系，且毫不意外地，该体系还可以指明学科研究方向（计算机技术对经济学研究的渗透，其实质是数学思维以计算机工具为载体在经济学研究领域的实现，具体的研究方向是经济学的，但研究的方式却是数学的，或者说计算机的，即过去被认为是经济学研究过程中一大阻碍的海量数据获取和基本分析在今天已经被基本克服，未来的经济学研究过程中更应该关注数据的处理模型）。科学的这一发展逻辑听上去是不是很耳熟？对了，这和数学的发展逻辑有着相当的一致性（数学部分地因其不可被证伪性而不属于科学）。因此，我们可以按照数学逻辑大厦的建筑原理来看待经济学理论（为严谨，这里必须将经济学中的实证研究剥离，而仅仅只是讨论业已被公认的经济学理论）。
先挑最要紧的来讲，正如培养一个完全的、实用的数学能力，我们首先要确定经济学中的基本定律（机制）和定义（诚然，这一过程首先要求同学具备真正的数学思维和能力，而这一点又是传统的、通行的数学教育所不能做到的）。函数映射关系的作用机制，即确定的自变量（经济主体、经济变量）经过函数映射关系（市场机制、财政货币政策）可以反映出确定的因变量（所有其他的经济变量），在数学和经济学中有着同样的核心地位。
因此，初学者学习经济学的主要任务并不是花费大量时间去“死记硬背”那些数量众多的“高大上”的经济学名词，而是关注数量相对较少的关键变量（按照确定数学函数三要素的思路去定位），尔后通过一定数量的基础练习题（以确保你对它们的理解不会出现方向性的错误）来把握它们之间相互关联的方式。这一步骤很像是数学基础知识的学习，即首先不是去记忆解题技巧、经验公式和“高阶”定理，而是通过基础题目训练来加深对基本定义和定理的理解（感知和掌握变量之间的相互联系很重要，参见互联网的建设逻辑，即每一个节点的加入都会使整个系统得到加强，同时每一个节点也因此得以强化；还有区块链技术的核心，即去中心化过程，如此除非整个体系的各个节点同时崩溃，则此体系”固若金汤“，将黑客恶意攻击的成本提高到一个几乎不可能达到的高度）。接下来，我们只需要在此基础上纳入新的经济学变量和定律，并不断在更加复杂、丰富的程度上重复上述过程，直到覆盖整个大纲要求范围。关于如何破解专业课死记硬背难题，大家一定要好好想一想互联网和区块链技术的逻辑，即只有当一个事物与其他我们脑海中已存在的事物之间的相互联系越丰富，这个事物才会越难以被遗忘（详见我们为什么很难忘记有过共同生活经历的同伴）。
PS：以上的分析有一个显然的假设前提，即所有的经济学问题都可以量化描述。
有兴趣的同学还可以读一读本文的英文版：
Understanding Economics and prevailing in the postgraduate examination through a Mathematical lens.
Since my initiative was to provide you with an alternate and first-hand experience in preparing for the exam,I’ll let one of the questions which had been demonstrated in last year’s exam be the starter of my paper.
Question: Given that a perfectly competitive manufacturer has its total cost within a short-term state as Q^3-10*Q^2+100*Q+500, while Q stands for the Quantity of its product. Please answer the following questions: (1)How are the SAVC and SAFC of this manufacturer? (2)How much is the Q of this manufacturer when the market price equals 100? (3)At what price will this manufacturer shut out(the Shutout Point)? (4)How’s the Supply Curve for this manufacturer in the short-term?
Hints: considering our discussion is mainly focused on solving economical problems via a mathematical lens and the scarcity of your time, we’ll have to work out only the (2) and (3) questions.
Solutions: (2)when the rational manufacturers facing a perfectly competitive market, it means, in other words, they’re subjected to at least two clauses or restraints. Firstly, all rational economic entities scrutinize and perform their economic behaviors in great accordance with the ultimate goal of achieving its optimal interest of which, in this case, the maximization of its profit; Secondly, they’re passively receiving the market price which makes them ‘price taker’. As in a mathematical approach: 1, MC(Marginal Costs)=MR(Marginal Revenue); 2,P(given by the market)=100. Combined these two equations, we have MR=MC=P=100. From here, we can easily have the final answer to this question.
(3)when the manufacturer decides to shut out it means its loss will be no different whether stops or continue its operation. In other words, the market price equals the SAVC(Short-term Average Variable Costs) and that makes the sales revenue can only compensate the SAVC while the loss of FC(Fixed Costs) remains all the same. As a result, the rational manufacturer decides to stop operating to at least saving some operating costs. Again, as in a mathematical approach: 1,P=SAVC; 2,P=MR=MC. Combined these two equations, we have SAVC=MC. From here, we can easily find out the final result.
After finished solving this economic problem, I’ll assume you have at least two confusions:
1, why there’s no economic curves or economic theories involved; 2, what is the role of your so-called mathematical lens in solving that problem. Challenge me on this matter as you may. Before we voyage deduction and illustration of my theory, let me assert one firm belief that serving as my code of conduct in learning: the most beneficial and important acquirement of learning is not always the number of things that you’ve already know, but the philosophy behind them and the logic governs them as an integral whole.
For starters, as a college graduate with no common educational background, you may call me anything but an economic student. And driven by limited preparation time together with my stubbornness, I had no choice but to study economics alternately. I’m no exception when started my journey by kicking myself into the wonderland of economics and got unsurprisingly kicked out only a few days later. But such a dreadful experience can’t freak me out for the desperation and helplessness of my previous life(LOL), I started to make a hypothesis that learning economics is just like learning math.When learning math we only have to focus on the mathematical definitions and axioms(the fundamental and self-evident truths in mathematics). Likewise, learning economics, especially its normative theories, the only fundamentals we have to remember are the economical definitions(terminologies) and generally acknowledged truths in economics.
Quite abstract and full of blah blah, isn’t it? Let’s get back to the economic problem I had mentioned at the beginning. The premises are the rationality of the manufacturer and the Price mechanism, miraculously, these subjects are in magnificent resemblance with the irrelevance of independent variables and functional relationships in mathematics. More specifically, question (2) is nothing but executing the process of finding out the optimal solution of a single-variable function under one subject(P=100). As for question(3), we can easily understand the literal meaning of ‘Shutout point’ and then translate this economic problem into a mathematical one: a single-variable function can be divided or interpreted into two other functions according to the given economic background, and then, we have to translate the economic fundamentals into a mathematical relationship to find out the optimal solution.
Enough with the micro-image of economics, we start to draw a bigger picture and map out some core clues for the world of economics, of course, through a mathematical lens.
For all the economics students with a decent education, it’s no surprise that they can easily understand the reason for calling microeconomics ‘a price theory’ and macroeconomics ‘a theory of national income determination’. However, the story behind such fact is all too much less delighted nor obscure. To achieve possessing this understanding of economics requires you of comprehensive learning of the subject and, indispensably, a beautiful mind(LOL)… Indeed, it’s always not an easy task for us newbies or laymen to compete with those ‘professional ones’, especially within a limited time. But things will be much different once we start to perceive and reconsider this matter with my approach, that is, the mathematical lens.
Although not all modern science is derived from normative research, once they got their name titled with ‘modern’ it means a normative and self-consistent theoretical system governing all current findings and materials, and unsurprisingly, guiding its directions of future research. Sounds familiar, isn’t it? This doctrine also applies to the development of math. So, in this sense, we start to reconstruct the building with the original manual books changed into a mathematical one.
First things first, like working on establishing a fully operational command of mathematics, we have to determine the fundamental laws and mechanisms in economics. (Frankly, this kind of approach requires you a rightful understanding of mathematical logic which is substantially different from our traditional and widely accepted norms in pre-college educations.) The functionality of mathematical functions is at the same core position as the functionality of economics, in other words, the specific independent variables(consumers, producers in microeconomics and national incomes, price level in macroeconomics) we put into the functions(market mechanism and fiscal, financial policies) will generate(the miraculous law of humanity) certain dependent variables(all other economic indicators). So, the main task for us layman in learning economics is not to deploy the strategy of rote memorizing those ‘fancy’ terminologies but locating the only few key variables and then focus on the way they interconnected with an adequate number of preliminary exercises keeping you away from being diverted into wrong directions. After gaining some sense in economics, you only need to detail the previous process into every sector of economics while using the same learning pattern. Of course, just as how it is in studying math, economics also requires you of having a reasonable amount of exercise at all levels. That is to say, instead of memorizing all its materials in a rote manner, we can easily have them carved deep into our minds through relentlessly performing them within a unified system. Only when things are interconnected intensively can’t they be forgotten or missed. Examining the formation of the Internet and you will know it thoroughly. (PS: Just for clarification that my analysis base on one obvious condition that this mathematical approach can only be practical when the economic problems are quantifiable.)
红宝书专业课全程班
去年，红宝书团队很多专业的学员都取得了非常不错的成绩，经济学和管理学一共50来个专业，很多专业的前几名都是来自我们的辅导班，还有好几个专业学员上岸人数超过专业招生人数50%，最让我们骄傲的是行管这个专业，32名统招生全部是我们的学员，占比100%。目前，红宝书各专业全程班正在进行中，课程包含：基础课+强化课+冲刺课+日常答疑+作业批改+阶段测试+考前实战测试。需要报名的同学现在还可以上车哦。可添加学姐领取详细课程安排，vx：nina_ss1 | 
发表于 2021-7-7 23:12:09
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